三角形向量求坐标在三角形ABC中,已知A（x1,y1）、B(x2,y2)的坐标和AC、BC的长度分别设为a和b,求C点坐标（应该是二个解,求一个即可）

Question

三角形 向量求坐标
在三角形ABC中,已知A（x1,y1）、B(x2,y2)的坐标和AC、BC的长度分别设为a和b,求C点坐标（应该是二个解,求一个即可）

Answer 1

这是个不错的问题.前段时间我刚做过.如果是你自己提出来的,那就更好了.你说的应该是二个解也是对的.下面我说一下我的解法.
方法一：
由已知,可写出两个圆的方程,一个以A为圆心,以a为半径；另一个以B为圆心,以b为半径.解后求解这个二元二次方程组.会得到两个解.需要说明的是,首先这个方程组会转化成一个一元二次方程,所以它是可解的,解之可得到两个解.但另一方面,如果所给的条件不是数字,而是字母,那么求解的过程会繁琐得几乎无法进行.
方法二：
用纯几何的方法.在这种情况下分两次讨论会得到两个解.下面我只就其中一种（C点在AB右侧）情况简述一下结果.并无妨得,假设A点在B点的左上方,C点的纵坐标在A,B两点的纵坐标之间.
过点A作y轴的平行线AD,过点B作x轴的平行线BD.AD,BD交于D点.过点C作y轴的平行线,交DB的延长线于点E.过点C作AB的垂线,交AB于点F,过点F分别作DB和CE的垂线,分别交DB,CE于点G,H.
先写出AD的长度,
设d=AD=y1-y2
再写出DB的长度,
设c=DB=x2-x1
并令e=AB=√（d²+c²)
又令x=AF=(e²+a²-b²)/2e
又令y=CF==√（a²-x²)
则又有
FG=d(e-x)/e
CH=cy/e
CE=[d(e-x)+cy]/e
BE=√（b²-CE²)
至此,我们看到,如果你给出x1,y1,x2,y2,a,b的一组明确的数,那么你就能够依次求得上述过程中的各个数,并在最后求出CE,BE的值.我们知道：CE就是C点的纵坐标与B点的纵坐标之差,BE就是C点的横坐标与B点的横坐标之差.
最后C点的坐标为：（x2+BE,y2+CE)
比如,对于一个例子,已知A点的坐标为（3,9）,B点的坐标为（6,4）,AC的长度为√65,BC的长度为√41,那么可求得C点的坐标为（11,8）.然后作C点关于AB的对称点,可以得到C点坐标的另一个解.完.