直线L过抛物线y^2=2px(p>0)焦点,且与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,点C在抛物线准线上,且BC平行x轴证明：直线AC经过原点

Question

直线L过抛物线y^2=2px(p>0)焦点,且与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,点C在抛物线准线上,且BC平行x轴
证明：直线AC经过原点

Answer 1

欲证明直线AC经过原点,只需证明kOA=kOC(斜率相等)
A(x1,y1),B(x2,y2),点C在抛物线准线上,且BC平行x轴,
所以点C的坐标为(-p/2,y2)
kOA=y1/x1=y1/(y1^2 / 2p)=2p/y1
kOC=y2/(-p/2)
欲证明kOA=kOC,只需证明2p/y1=y2/(-p/2)
即只需证明y1y2=-p^2
直线L的方程为y=k(x-p/2)
与抛物线联立后得ky^2-2py-p^2k=0
y1y2=-p^2k/k=-p^2
因此可以证得直线AC经过原点.