如图1，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=-x2+bx+c经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E，抛物线顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）在第三

题目详情

如图1，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=-x² +bx+c经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E，抛物线顶点为D．

（1）求抛物线的解析式；
（2）在第三象限内，F为抛物线上一点，以A、E、F为顶点的三角形面积为3，求点F的坐标；
（3）点P从点D出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，以P、B、C为顶点的三角形是直角三角形？直接写出所有符合条件的t值．

▼优质解答

答案和解析

（1）y=-x² -2x+3；（2）（

，

）（3）当t为

秒或2秒或3秒或

秒时，以P、B、C为顶点的三角形是直角三角形

试题分析：（1）先由直线AB的解析式为y=x+3，求出它与x轴的交点A、与y轴的交点B的坐标，再将A、B两点的坐标代入y=-x² +bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）设第三象限内的点F的坐标为（m，-m² -2m+3），运用配方法求出抛物线的对称轴及顶点D的坐标，再设抛物线的对称轴与x轴交于点G，连接FG，根据S_△AEF =S_△AEG +S_△AFG -S_△EFG =3，列出关于m的方程，解方程求出m的值，进而得出点F的坐标；
（3）设P点坐标为（-1，n）．先由B、C两点坐标，运用勾股定理求出BC² =10，再分三种情况进行讨论：①∠PBC=90°，先由勾股定理得出PB² +BC² =PC² ，据此列出关于n的方程，求出n的值，再计算出PD的长度，然后根据时间=路程÷速度，即可求出此时对应的t值；②∠BPC=90°，同①可求出对应的t值；③∠BCP=90°，同①可求出对应的t值．
试题解析：（1）∵y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴当y=0时，x=-3，即A点坐标为（-3，0），
当x=0时，y=3，即B点坐标为（0，3），
将A（-3，0），B（0，3）代入y=-x² +bx+c，得

，解得

，
∴抛物线的解析式为y=-x² -2x+3；
（2）如图1，

设第三象限内的点F的坐标为（m，-m² -2m+3），则m＜0，-m² -2m+3＜0．
∵y=-x² -2x+3=-（x+1）² +4，
∴对称轴为直线x=-1，顶点D的坐标为（-1，4），
设抛物线的对称轴与x轴交于点G，连接FG，则G（-1，0），AG=2．
∵直线AB的解析式为y=x+3，
∴当x=-1时，y=-1+3=2，
∴E点坐标为（-1，2）．
∵S_△AEF =S_△AEG +S_△AFG -S_△EFG =

×2×2+

×2×（m² +2m-3）-

×2×（-1-m）=m² +3m，
∴以A、E、F为顶点的三角形面积为3时，m² +3m=3，
解得：

，

（舍去），
当

时，-m² -2m+3=-m² -3m+m+3=-3+m+3=m=

，∴点F的坐标为（

，

）；
（3）设P点坐标为（-1，n）．
∵B（0，3），C（1，0），
∴BC² =1² +3² =10．
分三种情况：①如图2，如果∠PBC=90°，那么PB² +BC² =PC² ，

即（0+1）² +（n-3）² +10=（1+1）² +（n-0）² ，
化简整理得6n=16，解得n=

，
∴P点坐标为（-1，

），
∵顶点D的坐标为（-1，4），
∴PD=4-

，
∵点P的速度为每秒1个单位长度，
∴t₁ =

；
②如图3，如果∠BPC=90°，那么PB² +PC² =BC² ，

即（0+1）² +（n-3）² +（1+1）² +（n-0）² =10，
化简整理得n² -3n+2=0，解得n=2或1，
∴P点坐标为（-1，2）或（-1，1），
∵顶点D的坐标为（-1，4），
∴PD=4-2=2或PD=4-1=3，
∵点P的速度为每秒1个单位长度，
∴t₂ =2，t₃ =3；
③如图4，如果∠BCP=90°，那么BC² +PC² =PB² ，

即10+（1+1）² +（n-0）² =（0+1）² +（n-3）² ，
化简整理得6n=-4，解得n=-

，
∴P点坐标为（-1，-

），
∵顶点D的坐标为（-1，4），
∴PD=4+