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设x1，x2，…，x12是任意互异的12个整数，试证明其中一定存在8个整数x1，x2，…，x8，使得：（x1-x2）×（x3-x4）×（x5-x6）×（x7-x8）恰是1155的倍数．
题目详情
设x1，x2，…，x12是任意互异的12个整数，试证明其中一定存在8个整数x1，x2，…，x8，使得：（x1-x2）×（x3-x4）×（x5-x6）×（x7-x8）恰是1155的倍数．
▼优质解答
答案和解析
对1155分解质因数得1155=3×5×7×11．
因为，在所给的12数中，必有2数除以11，余数相同，设这2数为x1，x2，则（x1-x2）是11的倍数．
在剩下的数中，必有2数除以7，余数相同，设这2数为x3，x4，则（x3-x4）是7的倍数．
在剩下的8数中，必有2数除以5，余数相同，设这2数为x5，x6，则（x5-x6）是5的倍数．
在剩下的6数中，必有2数除以3，余数相同，设这二数为x7，x8，则（x7-x8）是3的倍数．
故存在8个数x1，x2，x8，使（x1-x2）（x3-x4）（x5-x6）（x7-x8）是1155的倍数．
因为，在所给的12数中，必有2数除以11，余数相同，设这2数为x1，x2，则（x1-x2）是11的倍数．
在剩下的数中，必有2数除以7，余数相同，设这2数为x3，x4，则（x3-x4）是7的倍数．
在剩下的8数中，必有2数除以5，余数相同，设这2数为x5，x6，则（x5-x6）是5的倍数．
在剩下的6数中，必有2数除以3，余数相同，设这二数为x7，x8，则（x7-x8）是3的倍数．
故存在8个数x1，x2，x8，使（x1-x2）（x3-x4）（x5-x6）（x7-x8）是1155的倍数．
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