（2014•天津）设f（x）=x-aex（a∈R），x∈R，已知函数y=f（x）有两个零点x1，x2，且x1＜x2．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）证明：x2x1随着a的减小而增大；（Ⅲ）证明x1+x2随着a的减小而增大．

Question

（2014•天津）设f（x）=x-ae^x（a∈R），x∈R，已知函数y=f（x）有两个零点x₁，x₂，且x₁＜x₂．
（Ⅰ）求a的取值范围；
（Ⅱ）证明：(x2)/(x1)随着a的减小而增大；
（Ⅲ）证明x₁+x₂随着a的减小而增大．

Answer 1

（Ⅰ）∵f（x）=x-ae^x，∴f′（x）=1-ae^x；
下面分两种情况讨论：
①a≤0时，f′（x）＞0在R上恒成立，∴f（x）在R上是增函数，不合题意；
②a＞0时，由f′（x）=0，得x=-lna，当x变化时，f′（x）、f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，-lna）	-lna	（-lna，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）	递增	极大值-lna-1	递减

∴f（x）的单调增区间是（-∞，-lna），减区间是（-lna，+∞）；
∴函数y=f（x）有两个零点等价于如下条件同时成立：
（i）f（-lna）＞0，（ii）存在s₁∈（-∞，-lna），满足f（s₁）＜0，（iii）存在s₂∈（-lna，+∞），满足f（s₂）＜0；
由f（-lna）＞0，即-lna-1＞0，解得0＜a＜e^-1；
取s₁=0，满足s₁∈（-∞，-lna），且f（s₁）=-a＜0，
取s₂=(2)/(a)+ln(2)/(a)，满足s₂∈（-lna，+∞），且f（s₂）=（(2)/(a)-e(2)/(a)）+（ln(2)/(a)-e(2)/(a)）＜0；
∴a的取值范围是（0，e^-1）．
（Ⅱ）证明：由f（x）=x-ae^x=0，得a=(x)/(ex)，设g（x）=(x)/(ex)，由g′（x）=(1-x)/(ex)，得g（x）在（-∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
并且，当x∈（-∞，0）时，g（x）≤0，当x∈（0，+∞）时，g（x）≥0，
x₁、x₂满足a=g（x₁），a=g（x₂），a∈（0，e^-1）及g（x）的单调性，可得x₁∈（0，1），x₂∈（1，+∞）；
对于任意的a₁、a₂∈（0，e^-1），设a₁＞a₂，g（X₁）=g（X₂）=a_i，其中0＜X₁＜1＜X₂；
g（Y₁）=g（Y₂）=a₂，其中0＜Y₁＜1＜Y₂；
∵g（x）在（0，1）上是增函数，∴由a₁＞a₂，得g（X_i）＞g（Y_i），可得X₁＞Y₁；类似可得X₂＜Y₂；
又由X、Y＞0，得(X2)/(X1)＜(Y2)/(X1)＜(Y2)/(Y1)；∴(x2)/(x1)随着a的减小而增大；
（Ⅲ）证明：∵x₁=aex1，x₂=aex2，∴lnx₁=lna+x₁，lnx₂=lna+x₂；
∴x₂-x₁=lnx₂-lnx₁=ln