怎么证明各变量值与均值的离差平方和最小一组数据X1X2X3……Xn他们的平均数为YM为任意实数证明(X1-Y)^2+(X2-Y)^2+……+(Xn-Y)^2不大于(X1-M)^2+(X2-M)^2+……+(Xn-M)^2

Question

怎么证明各变量值与均值的离差平方和最小
一组数据X1 X2 X3 …… Xn 他们的平均数为Y M为任意实数
证明(X1-Y)^2+(X2-Y)^2+……+(Xn-Y)^2不大于(X1-M)^2+(X2-M)^2+……+(Xn-M)^2

Answer 1

平均数为Y-----相当于一个车轮的重心轴.
离差平方和----相当于这个车轮的转动惯量.
显然,当车轮以重心转轴旋转时,转动惯量最小.
--------------------------------------------
以下是数学证明：
Z=(X1-M)^2+(X2-M)^2+……+(Xn-M)^2
dZ/dM = -2[(X1-M)+(X2-M)+……+(Xn-M)] = 0
M = (X1+X2+...+Xn)/n = Y
(d^2)Z/dm^2 = 2n > 0 (二阶导数为正,极小.)
当M=Y时,Z=(X1-M)^2+(X2-M)^2+……+(Xn-M)^2 取极小值.证毕.