设函数f（x）=（x+a）lnx，g（x）=x2ex．已知曲线y=f（x）在点（1，f（x））处的切线与直线2x-y=0平行．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）是否存在自然数k，使得方程f（x）=g（x）在（k，k+1）内存在唯一的

Question

设函数f（x）=（x+a）lnx，g（x）=(x2)/(ex)．已知曲线y=f（x）在点（1，f（x））处的切线与直线2x-y=0平行．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）是否存在自然数k，使得方程f（x）=g（x）在（k，k+1）内存在唯一的根？如果存在，求出k；如果不存在，请说明理由；
（Ⅲ）设函数m（x）=min{f（x），g（x）}（min{p，q}表示p，q中的较小值），求m（x）的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）函数f（x）=（x+a）lnx的导数为f′（x）=lnx+1+(a)/(x)，
曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为f′（1）=1+a，
由切线与直线2x-y=0平行，
则a+1=2，解得a=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=（x+1）lnx，f′（x）=lnx+1+(1)/(x)，
令h（x）=lnx+1+(1)/(x)，h′（x）=(1)/(x)-(1)/(x2)=(x-1)/(x2)，
当x∈（0，1），h′（x）<0，h（x）在（0，1）递减，
当x>1时，h′（x）>0，h（x）在（1，+∞）递增．
当x=1时，h（x）_min=h（1）=2>0，即f′（x）>0，
f（x）在（0，+∞）递增，即有f（x）在（k，k+1）递增，
g（x）=(x2)/(ex)的导数为g′（x）=(x(2-x))/(ex)，
当x∈（0，2），g′（x）>0，h（x）在（0，2）递增，
当x>2时，g′（x）<0，g（x）在（2，+∞）递减．
则x=2取得最大值，
令T（x）=f（x）-g（x）=（x+1）lnx-(x2)/(ex)，
T（1）=-(1)/(e)<0，T（2）=3ln2-(4)/(e2)>0，
由零点存在定理可得，存在自然数k=1，
使得方程f（x）=g（x）在（k，k+1）内存在唯一的根；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，m（x）=

(x+1)lnx，0x0

(x2)/(ex)，x>x0

其中x₀∈（1，2），
且x=2时，g（x）取得最大值，且为g（2）=(4)/(e2)，
则有m（x）的最大值为m（2）=(4)/(e2)．