已知z为虚数，z+9z-2为实数．（1）若z-2为纯虚数，求虚数z；（2）求|z-4|的取值范围．

Question

已知z为虚数， z+(9)/(z-2) 为实数．
（1）若z-2为纯虚数，求虚数z；
（2）求|z-4|的取值范围．

Answer 1

（1）设z=x+yi（x，y∈R，y≠0），则z-2=x-2+yi，
由z-2为纯虚数得x=2，∴z=2+yi，…（2分）
则  z+(9)/(z-2) =2+yi+(9)/(yi) =2+(y-(9)/(y) )i∈R ，…（4分）
得 y-(9)/(y) =0 ，y=±3，…（6分）   所以z=2+3i或z=2-3i．…（7分）
（2）∵ z+(9)/(z-2) =x+yi+(9)/(x+yi-2) =x+(9(x-2))/((x-2)2 + y2) +[y-(9y)/((x-2)2 + y2) ]i∈R ，
∴ y-(9y)/((x-2)2 + y2) =0 ，∵y≠0，∴（x-2） ² +y ² =9，…（10分）
由（x-2） ² ＜9得x∈（-1，5），…（12分）
∴ |z-4|=|x+yi-4|=

(x-4) 2 + y 2

=

(x-4) 2 +9- (x-2) 2

=

21-4x

∈(1，5) ．…（15分）