留数的物理意义是什么?函数f(z)=cosz/z^3,以z=0为孤立奇点,它在z=0的去心临域内的罗朗级数展开是f(z)=1/z^3-1/2z+z/4!-...,其中C(-1)=-1/2,所以Res(f;0)=-1/2.这个-1/2有什么物理意义?在z=0点附近f(z)似乎总是

Question

留数的物理意义是什么?
函数f(z)=cosz/z^3,以z=0为孤立奇点,它在z=0的去心临域内的罗朗级数展开是
f(z)=1/z^3-1/2z+z/4!-...,其中C(-1)=-1/2,所以Res(f;0)=-1/2.
这个-1/2有什么物理意义?在z=0点附近f(z)似乎总是一个幅度无限大的复数啊,留数有什么意义吗?

Answer 1

Residue是一个数学概念,具体问物理意义是什么,我也说不上来,就想问复数的物理意义是什么一样,可以有很多……复数是个数学概念,在物理上很多情况下是作为一个很方便的数学工具来用的.
之所以要学习,康托积分,就是因为我们可以把一些积分转化为康托积分,然后通过找到它的Residue（留数）,根据留数定理,在某康托上的积分结果=2pi*i {在此康托内Residue的和（如果residue在康托上则算1/2）}.
关于罗朗级数：
对f(z)在z=z0处的展开,如果f(z)在z=z0处是analytic的,也就是无限可导的,那么就可以展开为f(z)=a0+a1(z-z0)+a2(z-z0)^2+.+b1(z-z0)^{-1}+b2(z-z0)^{-2},而留数就是b1这个在(z-z1)^{-1}前的系数.
好.上面的貌似都是书上有的,可能并没有回答你的问题
那么为什么b1那么重要呢?首先,这里输入数学公式不方便,int就代表积分,oint代表环路积分.
对f(z)进行环路积分的时候,由于我们已经把它展开了,可以证明oint{z^n dz}=0当n不是-1的时候,而当n是负一的时候oint{z^{-1} dz}=2pi*i.其实这是“留数定理”的证明过程,也说明了为什么留数是负一次幂前面的那个系数.
至于物理意义,我在百度上找到一个（链接在参考资料里给出了）：“
解析函数f（z）沿一条正向简单闭曲线的积分值.严格定义是：f（z）在 0＜｜z－a｜ ≤R上解析,即a是f（z）的孤立奇点,则称积分值（1／2πi）∫｜z－a｜＝Rf（z）dz为f（z）关于a点的留数,记作Res[f（z）,a] .如果f（z）是平面流速场的复速度,而a是它的旋源点（即旋涡中心或源汇中心）,则积分∫｜z－a｜＝Rf（z）dz表示旋源的强度——环流量,所以留数是环流量除以2πi的值.由于解析函数在孤立奇点附近可以展成罗朗级数：f（z）＝∑ak（z－a）k ,将它沿｜z－a｜＝R逐项积分,立即可见Res[f(z),a]＝a-1 ,这表明留数是解析函数在孤立奇点的罗朗展式中负一次幂项的系数. ”