人教版高中数学必修一求教定义在R上的函数y=f（x）,f（0）≠0,当x＞0时,f（x）＞1,且对任意实数x,y有f（x+y）=f（x）·f（y）（1）证明：当x＜0时,有1＜f（x）＜1（2）证明：f（x）是R上的增函数

Question

人教版高中数学必修一求教
定义在R上的函数y=f（x）,f（0）≠0,当x＞0时,f（x）＞1,且对任意实数x,y有f（x+y）=f（x）·f（y）
（1）证明：当x＜0时,有1＜f（x）＜1
（2）证明：f（x）是R上的增函数
（3）若f（x²）·f（2x-x²+2）＞1,求x的取值范围

Answer 1

1.
由:f(0+0)=f(0)*f(0)
即:f(0)=[f(0)]^2,
解此方程得:f(0)=1,或f(0)=0.
但已知:f(0)不=0,故有:f(0)=1.
对于x0
1=f(0)=f(x-x)=f(x)*f(-x)
即:f(x)*f(-x)=1,
由于f(-x)>1,故:
x0,f(x)>1,故上式中:
f(x2-x1)>1.
故*** 式>0
即:f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)
=f(x2-x1) *f(x1)-f(x1)
=f(x1)*[f(x2-x1)-1]>0
即:f(x2)-f(x1)>0
即f(x2)>f(x1) 当x2>x1时恒成立.
即f(x)为增函数.
3.若f(x^2)*f(2x-x^2+2)>1
即:f(x^2+2x-x^2+2)>1=f(0)因为函数是R上的增函数
即:x^2+2x-x^2+2)>0
即:2x+2>0,即:x>-1.