求初值y〃+(y′)^2=1y(0)=1,y′(0)=2

Question

求初值y〃+(y′)^2=1 y(0)=1,y′(0)=2

Answer 1

令p=y'
则y"=pdp/dy
代入原方程：pdp/dy+p^2=1
pdp/(1-p^2)=dy
d(p^2)/(p^2-1)=-2dy
积分：ln|p^2-1|=-2y+c1
p^2-1=Ce^(-2y)
代入p(0)=y'(0)=2,y(0)=1 得：2-1=ce^(-2),得：c=e^2
即p=±√[e^(-2y+2)+1]
dy/√[e^(-2y+2)+1]=dx
令t=±√[e^(-2y+2)+1],
y=1-0.5ln(t^2-1)
dy=-tdt/(t^2-1)
方程化为：
-dt/(t^2-1)=dx
dt*[1/(t+1)-1/(t-1)]=2dx
积分：ln|t+1|-ln|t-1|=2x+c
(t+1)/(t-1)=ce^(2x)
x=0时,t(0)=√2,代入得：c=(√2+1)/(√2-1)=3+2√2
故解为：
t=(1+ce^2x)/(ce^2x-1)
即：±√[e^(2-2y)+1]=[1+(3+2√2)e^2x]/[3+2√2)e^2x-1]