7.x>0,y>0,a=x+y,b=sqrt(x^2+xy+y^2),c=msqrt(xy),求是否存在正数m使得对于任意正数x,y可使a,b,c为三x>0,y>0,a=x+y,b=sqrt(x^2+xy+y^2),c=msqrt(xy),求是否存在正数m使得对于任意正数x,y可使a,b,c为三角形的三边构成三

Question

7.x>0,y>0,a=x+y,b=sqrt(x^2+xy+y^2),c=m sqrt(xy),求是否存在正数m使得对于任意正数x,y可使a,b,c为三
x>0,y>0,a=x+y,b=sqrt(x^2+xy+y^2),c=m sqrt(xy),求是否存在正数m使得对于任意正数x,y可使a,b,c为三角形的三边构成三角形,如果存在,求出m的值,如果不存在,请说明理由.

Answer 1

x>0,y>0,所以a>0
a^2=x^2+2xy+y^2 > b^2 所以a>b
要构成三角形,就必须是任意两边之和大于第三边,或者两条短边之和大于最长边.
这里就是b+c>a且a+b>c
b+c>a 可得m>(a-b)/sqrt(xy)
a+b>c 可得m(a-b)/sqrt(xy)要多对一切x,y都成立就需要m大于(a-b)/sqrt(xy)的最大值
(a-b)/sqrt(xy)=[sqrt(x^2+2xy+y^2)-sqrt(x^2+xy+y^2)]/sqrt(xy)
=sqrt(xy)/[sqrt(x^2+2xy+y^2)+sqrt(x^2+xy+y^2)]
设x/y=A,y/x=1/A=B,则(a-b)/sqrt(xy)=1/[sqrt(A+B+2)+sqrt(A+B+1)]
利用基本不等式,A+B>=2sqrt(AB)=2,当且仅当A=B即x=y时等号成立,
所以min[sqrt(A+B+2)+sqrt(A+B+1)]=sqrt(4)+sqrt(3)
所以max(a-b)/sqrt(xy)==1/[sqrt(4)+sqrt(3)]
所以m>1/[sqrt(4)+sqrt(3)]=2-sqrt(3)
m