如图，已知抛物线C1：x2=2py的焦点在抛物线C2：y＝12x2+1上．（Ⅰ）求抛物线C1的方程及其准线方程；（Ⅱ）过抛物C1上的动点P作抛物线C2的两条切线PM、PN，切点M、N．若PM、PN的斜率积为m，且m

Question

如图，已知抛物线C₁：x²=2py的焦点在抛物线C₂：y＝(1)/(2)x2+1上．

（Ⅰ）求抛物线C₁的方程及其准线方程；
（Ⅱ）过抛物C₁上的动点P作抛物线C₂的两条切线PM、PN，切点M、N．若PM、PN的斜率积为m，且m∈[2，4]，求|OP|的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）C₁的焦点为F（0，(p)/(2)），
所以(p)/(2)=0+1，p=2．
故C₁的方程为x²=4y，其准线方程为y=-1．
（Ⅱ）任取点P（2t，t²），设过点P的C₂的切线方程为y-t²=k（x-2t）．
由

y−t2＝k(x−2t)

y＝(1)/(2)x2+1

，得x²-2kx+4tk-2t²+2=0．
由△=（2k）²-4（4tk-2t²+2）=0，化简得k²-4tk+2t²-2=0，
记PM，PN的斜率分别为k₁，k₂，则m=k₁k₂=2t²-2，
因为m∈[2，4]，所以t²∈[2，3]，
所以|OP|²=4t²+t⁴=（t²+2）²-4∈[12，21]，
所以|OP|∈[2√(3)，√(21)]．