（2009•东城区模拟）已知圆C：x2+y2+2x-4y+3=0．（1）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；（2）从圆C外一点P（x1，y1）向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|P

题目详情

（2009•东城区模拟）已知圆C：x²+y²+2x-4y+3=0．
（1）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；
（2）从圆C外一点P（x₁，y₁）向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．

▼优质解答

答案和解析

（1）∵切线在两坐标轴上的截距相等，
∴当截距不为零时，设切线方程为x+y=a，
又∵圆C：（x+1）²+（y-2）²=2，
∴圆心C（-1，2）到切线的距离等于圆的半径

，
即

|−1+2−a|

＝

，
解得：a=-1或a=3，
当截距为零时，设y=kx，
同理可得k＝2+

或k＝2−

，
则所求切线的方程为x+y+1=0或x+y-3=0或y＝(2+

)x或y＝(2−

)x．

（2）∵切线PM与半径CM垂直，
∴|PM|²=|PC|²-|CM|²．
∴（x₁+1）²+（y₁-2）²-2=x₁²+y₁²．
∴2x₁-4y₁+3=0．
∴动点P的轨迹是直线2x-4y+3=0．
∴|PM|的最小值就是|PO|的最小值．
而|PO|的最小值为原点O到直线2x-4y+3=0的距离d＝