若数列{an}满足条件：存在正整数k，使得an+k+an-k=2an对一切n∈N*，n＞k都成立，则称数列{an}为k级等差数列．（1）已知数列{an}为2级等差数列，且前四项分别为2，0，4，3，求a8+a9的值；（2）若an

Question

若数列{a_n}满足条件：存在正整数k，使得a_n+k+a_n-k=2a_n对一切n∈N^*，n＞k都成立，则称数列{a_n}为k级等差数列．
（1）已知数列{a_n}为2级等差数列，且前四项分别为2，0，4，3，求a₈+a₉的值；
（2）若a_n=2n+sinωn（ω为常数），且{a_n}是3级等差数列，求ω所有可能值的集合，并求ω取最小正值时数列{a_n}的前3n项和S_3n；
（3）若{a_n}既是2级等差数列{a_n}，也是3级等差数列，证明：{a_n}是等差数列．

Answer 1

（1）a₈=a₂+3（a₄-a₂）=0+3×（3-0）=9，
a₉=a₁+4×（a₃-a₁）=2+4×2=10，
∴a₈+a₉=19；
（2）∵{a_n}是3级等差数列，a_n+3+a_n-3=2a_n，
2（2n+sinωn）=2（n+3）+sin（ωn+3ω）+2（n-3）+sin（ωn-3ω）（n∈N^*），
∴2sinωn=sin（ωn+3ω）+sin（ωn-3ω）=2sinωncos3ω（n∈N^*），
∴sinωn=0，或cos3ω=1．
sinωn=0对n∈N^*恒成立时，ω=kπ（k∈Z）．
cos3ω=1时，3ω=2kπ（k∈Z），∴ω＝(2kπ)/(3)(k∈Z)，
∴ω∈{ω|ω＝(2kπ)/(3)(k∈Z)}∪{ω|ω＝kπ(k∈Z)}．
∴ω最小正值等于(2π)/(3)，此时an＝2n+sin(2nπ)/(3)，
由于sin(2(3n−2)π)/(3)+sin(2(3n−1)π)/(3)+sin(2(3n)π)/(3)＝0（n∈N^*），
∴a_3n-2+a_3n-1+a_3n=6（3n-1）（n∈N^*）.S3n＝(a1+a2+a3)+(a4+a5+a6)+…+(a3n−2+a3n−1+a3n)＝(n[12+6(3n−1)])/(2)
=9n²+3n（n∈N^*）；
（3）证明：若{a_n}为2级等差数列，即a_n+2+a_n-2=2a_n，
则{a_2n-1}，{a_2n}均成等差数列，
设等差数列{a_2n-1}，{a_2n}的公差分别为d₁，d₂．
{a_n}为3级等差数列，即a_n+3+a_n-3=2a_n，
则{a_3n-2}成等差数列，设公差为D，
a₁，a₇既是{a_2n-1}中的项，也是{a_3n-2}中的项，
a₇-a₁=3d₁=2D．
a₄，a₁₀既是中{a_2n}的项，也是{a_3n-2}中的项，
a₁₀-a₄=3d₂=2D∴3d₁=3d₂=2D．
设d₁=d₂=2d，则D=3d．
∴a_2n-1=a₁+（n-1）d₁=a₁+（2n-2）d（n∈N^*），
a_2n=a₂+（n-1）d₂=a₂+（2n-2）d，（n∈N^*）．
又a₄=a₁+D=a₁+3d，a₄=a₂+d₂=a₂+2d，
∴a₂=a₁+d，
∴a_2n=a₁+（2n-1）d（n∈N^*）．
综合得：a_n=a₁+（n-1）d，
∴{a_n}为等差数列．