对于函数f（x），若存在区间A=[m，n]，使得{y|y=f（x），x∈A}=A，则称函数f（x）为“同域函数”，区间A为函数f（x）的一个“同域区间”．给出下列四个函数：①f（x）=cosπ2

Question

对于函数f（x），若存在区间A=[m，n]，使得{y|y=f（x），x∈A}=A，则称函数f（x）为“同域函数”，区间A为函数f（x）的一个“同域区间”．给出下列四个函数：
①f（x）=cos (π)/(2)x；
②f（x）=x²-1；
③f（x）=|2^x-1|；
④f（x）=log₂（x-1）．
存在“同域区间”的“同域函数”的序号是___（请写出所有正确结论的序号）．

Answer 1

根据题意知，同域函数y=f（x）满足方程f（x）=x至少有两个不同解；
①函数f（x）=cos(π)/(2)x和y=x的图象只一个交点，∴方程cos(π)/(2)x=x只一个解；
∴该函数不是“同域函数”；
②由x²-1=x得，x²-x-1=0，△=1+4>0；
∴该方程有两个不同实数根；
∴该函数是“同域函数”；
③解|2^x-1|=x得，x=0，或1；
∴该函数为“同域函数”；
④方程log₂（x-1）=x无解；
∴该函数不是“同域函数”；
∴存在“同域区间”的“同域函数”的序号是②③．
故答案为：②③．