已知函数f（x）=lnxa+x在x=1处的切线方程为2x-y+b=0．（Ⅰ）求实数a，b的值；（Ⅱ）设函数g（x）=f（x）+12x2-kx，且g（x）在其定义域上存在单调递减区间（即g′（x）<0在其定义域上有解），

Question

已知函数f（x）=(lnx)/(a)+x在x=1处的切线方程为2x-y+b=0．
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）设函数g（x）=f（x）+(1)/(2)x²-kx，且g（x）在其定义域上存在单调递减区间（即g′（x）<0在其定义域上有解），求实数k的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）∵f（x）=(lnx)/(a)+x，
∴f′（x）=(1)/(ax)+1，
∵f（x）=(lnx)/(a)+x在x=1处的切线方程为2x-y+b=0，
∴(1)/(a)+1=2，2-1+b=0，
∴a=1，b=-1；
（Ⅱ）f（x）=lnx+x，g（x）=(1)/(2)x²-kx+lnx+x，
∴g′（x）=x-k+(1)/(x)+1，
∵g（x）在其定义域上存在单调递减区间，
∴g′（x）<0在其定义域上有解，
∴x-k+(1)/(x)+1<0在其定义域上有解，
∴k>x+(1)/(x)+1在其定义域上有解，
∴k>3．