已知过点M(-2,0)的直线与椭圆x^2+2y^2=2交于P1,P2两点,线段P1P2的中点为P,设直线L的斜率为K1（K1不等于0）,直线OP的斜率为K2,求证：K1*K2是定值.直线L就是过点M的直线，也过P1，P2

Question

已知过点M(-2,0)的直线与椭圆x^2+2y^2=2交于P1,P2两点,线段P1P2的中点为P,设直线L的斜率为K1（K1不等于0）,直线OP的斜率为K2,求证：K1*K2是定值.
直线L就是过点M的直线，也过P1，P2

Answer 1

证明：采用点差法,设P(x1,y1),P2(x2,y2)P1P2中点P(xo,yo),则有x1+x2=2xo,y1+y2=2yo,又P1,P2在曲线x^2/2+y^2=1上,则有x1^2/2+y1^2=1,x2^2/2+y2^2=1,两式相减得P1P2斜率（存在）k1=(y1-y2)/(x1-x2)=(-1/2)(x1+x2)/(y1+y2)=(-1/2)xo/yo,又OP斜率（存在）为k2=(yo-0)/(xo-0)=yo/xo,于是k1*k2=(-1/2)(xo/yo)(yo/xo)=-1/2,定值,得证.仅参考.