如图，在矩形ABCD中，∠CAB=30°，BC=43cm，将△ABC沿AC边翻折，使点B到点B′，AB′与DC相交于点O．（1）求证：△ADO∽△ABC；（2）点P（不与点A重合）是线段AB′上一动点，沿射线AB′的方向以2cm

Question

如图，在矩形ABCD中，∠CAB=30°，BC=4√(3)cm，将△ABC沿AC边翻折，使点B到点B′，AB′与DC相交于点O．

（1）求证：△ADO∽△ABC；
（2）点P（不与点A重合）是线段AB′上一动点，沿射线AB′的方向以2cm/s的速度匀速运动，请你求出△APC的面积S与运动时间t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）中，以AP、B′P、BC的长为边能否构成直角三角形？若能，求出点P的位置；若不能，请说明理由．

Answer 1

（1）在矩形ABCD中，∠ABC=∠ADC=∠BAD=90°，
∵∠CAB=30°，
∴∠CAD=60°，
由折叠得，∠B'AC=∠CAB=30°，
∴∠DAO=∠CAD-∠B'AC=30°=∠BAC，
∵∠ADO=∠ABC=90°，
∴△ADO∽△ABC；

（2）如图，连接PC，
在Rt△ABC中，∠BAC=30°，BC=4√(3)，
∴AB=√(3)BC=12，
由折叠知AB'=AB=12，
由运动知，AP=2t，
由折叠得，B'C=BC=4√(3)cm，
∴S=S_△APC=(1)/(2)AP•B'C=(1)/(2)×2t×4√(3)=4√(3)t（0<t≤12）；

（3）能构成直角三角形，
由运动知，AP=2t，B'P=AB'-AP=12-2t，
∵以AP、B′P、BC的长为边构成直角三角形，
∴①AP²+B'P²=BC²，
∴（2t）²+（12-2t）²=48，
∴此方程无解；
②AP²+BC²=B'P²，
∴（2t）²+48=（12-2t）²，
∴t=2，
∴AP=2t=4cm，此时，点P在AB'上距点A4cm处
③B'P²+BC²=AP²，（12-2t）²+48=（2t）²，
∴t=4，
∴AP=2t=8cm，此时，点P在AB'上，距点A8cm处．
即：点p距点A是4cm和8cm处时，以AP、B′P、BC的长为边构成直角三角形．