设△ABC的外心为O,以线段OA,OB为邻边作平行四边形,第四个顶点为D,再以OC,OD为邻边作平行四边形,它的第四个顶点为H（1）若向量OA=a,向量OB=b,向量OC=c,用a,b,c表示向量OH（2）求证AH⊥BC（3）设△ABC

Question

设△ABC的外心为O,以线段OA,OB为邻边作平行四边形,第四个顶点为D,再以OC,OD为邻边作平行四边形,它的第四个顶点为H
（1）若向量OA=a,向量OB=b,向量OC=c,用a,b,c表示向量OH
（2）求证AH⊥BC
（3）设△ABC中,A=60°,B=45°,外接圆半径为R,用R表示向量OH的绝对值.

Answer 1

(1)OH = OD + OC = OB + OA + OC = a+b+c （平行四边形法则）
（上面所有线段表示向量）
(2)AH*BC = (OH-OA)*(OC-OB) = (a+b+c-a)*(c-b)
=(c+b)*(c-b)=c^2-b^2 (*表示向量点乘）
因为O是外心,所以|c|=|b|,上式为0
所以AH垂直于BC
(3)由(1)知OH=a+b+c,
两边同时平方：OH^2=a^2+b^2+c^2+2a*b+2a*c+2b*c
=3R^2+2R^2(cos+cos+cos) 表示两向量夹角
只需求出三个夹角即可.由外心的定义知OA=OB=OC=R
所以角OAC=OCA,OAB=OBA,OBC=OCB
而它们之和为180
所以OCA+OCB+OBA=90
又有OBA+OAB+AOB=2OBA+AOB=180
所以OBA+1/2AOB=90
所以OCA+OCB=ACB=1/2AOB 所以角AOB=150
同理角BOC=120,角AOC=90
代入得OH^2=3R^2+2R^2(-1/2-根号3 /2)
=(2-根号3)R^2
所以OH=根号(2-根号3)R=(根号6-根号2)R/2