如图，点P是菱形ABCD对角线AC上一个动点，PE⊥AD，PF⊥CD．（1）当点P在线段AC上运动时，PE+PF的值是一个定值吗？请说明理由．（2）当点P在线段AC的延长线上运动时，PE与PF的长度满足什么样

Question

如图，点P是菱形ABCD对角线AC上一个动点，PE⊥AD，PF⊥CD．

（1）当点P在线段AC上运动时，PE+PF的值是一个定值吗？请说明理由．
（2）当点P在线段AC的延长线上运动时，PE与PF的长度满足什么样的关系式？

Answer 1

（1）是定值，证明：连接DP，设△ACE的边AD上的高为h，
∵菱形ABCD，
∴DA=DC，
∵PE⊥AD，PF⊥CD，
∴△ACD的面积=△ADP的面积+△CDP的面积=(1)/(2)AD•PE+(1)/(2)CD•PF=(1)/(2)AD（PE+PF），
∵△ACD的面积=(1)/(2)AD•h，
∴(1)/(2)AD（PE+PF）=(1)/(2)AD•h，
∴PE+PF=h（定值），
即PE+PF等于等腰三角形ACD的腰AD上的高；

（2）满足PE-PF等于等腰三角形ACD的腰AD上的高，
证明：连接DP，设△ACE的边AD上的高为h，
∵菱形ABCD，
∴DA=DC，
∵PE⊥AD，PF⊥CD，
∴△ACD的面积=△ADP的面积-△CDP的面积=(1)/(2)AD•PE-(1)/(2)CD•PF=(1)/(2)AD（PE-PF），
∵△ACD的面积=(1)/(2)AD•h，
∴(1)/(2)AD（PE-PF）=(1)/(2)AD•h，
∴PE-PF=h（定值），
即PE-PF等于等腰三角形ACD的腰AD上的高．