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如图，在四棱锥S-ABCD中，SO⊥平面ABCD，O为垂足，点M在SO上，且SM：MO=2：1，经过点M作与底面ABCD平行的平面α，分别交棱SA、SB、SC、SD于A1、B1、C1、D1（1）求证：四边形A1B1C1D1∽四边形ABCD；（2
题目详情
如图，在四棱锥S-ABCD中，SO⊥平面ABCD，O为垂足，点M在SO上，且SM：MO=2：1，经过点M作与底面ABCD平行的平面α，分别交棱SA、SB、SC、SD于A1、B1、C1、D1（1）求证：四边形A1B1C1D1∽四边形ABCD；
（2）求棱锥S-A1B1C1D1的体积与棱台A1B1C1D1-ABCD的体积之比．
▼优质解答
答案和解析
（1）证明：∵SM：MO=2：1，经过点M作与底面ABCD平行的平面α，
∴A1B1∥AB，B1C1∥BC，C1D1∥CD，DA∥DA，
∴四边形A1B1C1D1∽四边形ABCD，相似比为2：3；
（2）∵相似比为2：3，
∴VS-A1B1C1D1：VS-ABCD=8：27，
∴棱锥S-A1B1C1D1的体积与棱台A1B1C1D1-ABCD的体积之比为8：19．
∴A1B1∥AB，B1C1∥BC，C1D1∥CD，DA∥DA，
∴四边形A1B1C1D1∽四边形ABCD，相似比为2：3；
（2）∵相似比为2：3，
∴VS-A1B1C1D1：VS-ABCD=8：27，
∴棱锥S-A1B1C1D1的体积与棱台A1B1C1D1-ABCD的体积之比为8：19．
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