初中数学竞赛几何证明题已知点o为等边三角形ABC的内心,直线m过点o,过A、B、C三点分别作直线m的垂线,垂足分别为点D、E、F.当直线m与BC平行时,BE+CF=AD.当直线m绕点o旋转到与BC不平行时,如图所

Question

初中数学竞赛几何证明题
已知点o为等边三角形ABC的内心,直线m过点o,过A、B、C三点分别作直线m的垂线,垂足分别为点D、E、F.当直线m与BC平行时,BE+CF=AD.当直线m绕点o旋转到与BC不平行时,如图所示情况下,求证：AD+BE=CF

Answer 1

证明： 
连接CO并延长交AB于M,作MN⊥直线m,垂足为N 
因为O是等边三角形ABC的内心 
所以CM是∠ACB的平分线 
根据“三线合一”性质知M是AB的中点 
因为AD⊥直线m,BE⊥直线m,MN⊥直线m 
所以AD//MN//BE 
所以MN是梯形ABED的中位线 
所以2MN＝AD＋BE 
因为CF⊥直线m 
所以CF//MN 
所以△COF∽△MON 
因为等边三角形的内心与重心重合 
所以O是三角形ABC的重心 
所以CO＝2OM 
重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1） 
所以CF＝2MN 
所以AD＋BE＝CF