已知圆O：x2+y2=4交x轴于A，B两点，点P是直线x=4上一点，直线PA，PB分别交圆O于点N，M．（1）若点N（0，2），求点M的坐标；（2）探究直线MN是否过定点，若过定点，求出该定点；若不存在，请

Question

已知圆O：x²+y²=4交x轴于A，B两点，点P是直线x=4上一点，直线PA，PB分别交圆O于点N，M．

（1）若点N（0，2），求点M的坐标；
（2）探究直线MN是否过定点，若过定点，求出该定点；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）因为点N（0，2），A（-2，0），
所以直线AN的方程为y=x+2，
令x=4，则P（4，6），
又因为B（2，0），
所以直线BP的方程为y=3（x-2），
由y=3（x-2）及x²+y²=4，
解得M((8)/(5)，-(6)/(5))；
（2）设P（4，t），因为点A（-2，0），
所以直线AN的方程为y=(t)/(6)(x+2)，
由y=(t)/(6)(x+2)及x²+y²=4，解得N((72-2t2)/(36+t2)，(24t)/(36+t2))，
因为点B（2，0），所以直线BM的方程为y=(t)/(2)(x-2)，
由y=(t)/(2)(x-2)及x²+y²=4，解得M((2t2-8)/(4+t2)，(-8t)/(4+t2))，
过定点C（1，0），因为kNC=((24t)/(36+t2))/((72-2t2)/(36+t2)-1)=(8t)/(12-t2)，
kMC=((-8t)/(4+t2))/((2t2-8)/(4+t2)-1)=(-8t)/(t2-12)，
所以k_NC=k_MC，
所以M，N，C三点共线，
所以直线MN恒过定点C（1，0）．