如图，正方形ABCD中，M为BC上除点B、C外的任意一点，△AMN是等腰直角三角形，斜边AN与CD交于点F，延长AN与BC的延长线交于点E，连接MF、CN．（1）求证：BM+DF=MF；（2）求∠NCE的度数．

Question

如图，正方形ABCD中，M为BC上除点B、C外的任意一点，△AMN是等腰直角三角形，斜边AN与CD交于点F，延长AN与BC的延长线交于点E，连接MF、CN．
（1）求证：BM+DF=MF；
（2）求∠NCE的度数．

Answer 1

（1）证明：延长CD至G使DG=BM，
在△ADG和△ABM中，

AD＝AB

∠ADG＝∠ABM

DG＝BM

，
∴△ADG≌△ABM（SAS），
∴AG=AM，
又∵△AMN为等腰直角三角形，
∴∠MAN=45°，
∴∠FAD+∠MAB=45°，
∵∠DAG=∠BAM，
∴∠GAF=∠FAD+∠DAG=45°，
∴∠GAF=∠MAN，
在在△AFG和△AFM中，

AG＝AM

∠GAF＝∠MAN

AF＝AF

，
∴△AFG≌△AFM（SAS），
∴MF=GF，
又∵GF=GD+DF，GD=BM，
∴BM+DF=MF；

（2）过点N作NH⊥EB于点H，
∠AMB=180°-∠AMN-∠NMH=90°-∠NMH=∠MNH，
在△ABM≌△MHN中，

∠ABM＝∠MHN

∠AMB＝∠MNH

AM＝MN

，
∴△ABM≌△MHN（AAS），
∴AB=MH，BM=NH，
∵CH=MH-MC=AB-MC=BC-MC=BM=NH，
∴△CHN是等腰直角三角形，
∴∠NCE=∠NCG=45°．