在平面直角坐标系xOy中，已知圆O1，圆O2均与x轴相切且圆心O1，O2与原点O共线，O1，O2两点的横坐标之积为6，设圆O1与圆O2相交于P，Q两点，直线l：2x-y-8=0，则点P与直线l上任意一点M之间的距离

Question

在平面直角坐标系xOy中，已知圆O₁，圆O₂均与x轴相切且圆心O₁，O₂与原点O共线，O₁，O₂两点的横坐标之积为6，设圆O₁与圆O₂相交于P，Q两点，直线l：2x-y-8=0，则点P与直线l上任意一点M之间的距离的最小值为___．

Answer 1

设圆O₁：（x-x₁）²+（y-kx₁）²=k²x₁²，圆O₂：（x-x₂）²+（y-kx₂）²=k²x₂²，
两方程相减可得：2ky=x₁+x₂-2x，
与圆O₁联立可得x²+y²=6，
令y-2x=t，则y=2x+t，代入可得5x²-4tx+t²-6=0，
△=30-t²≥0，可得-√(30)≤t≤√(30)，
∵P到直线l的距离为(|y-2x+8|)/(√(5))，
∴y-2x=t=-√(30)时，点P与直线l上任意一点M之间的距离的最小值为(8√(5))/(5)-√(6)．
故答案为：(8√(5))/(5)-√(6)．