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⊙O与⊙O1相交于A、B,R、r分别为⊙O与⊙O1的半径,且R>r.(1)C在⊙O1上,且是⊙O1与⊙O相交所得劣弧的中点,过C作⊙O1的切线交⊙O于E、F,求证:O1E•O1F为定值;(2)如果按前面的条件
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⊙O与⊙O1相交于A、B,R、r分别为⊙O与⊙O1的半径,且R>r.
(1)C在⊙O1上,且是⊙O1与⊙O相交所得劣弧的中点,过C作⊙O1的切线交⊙O于E、F,求证:O1E•O1F为定值;
(2)如果按前面的条件不变,而是过劣弧ACB上任一点G作⊙O1的切线与⊙O相交(A、B、C三点除外),(1)中的结论仍成立吗?请画出图形,并证明你的结论.
(1)C在⊙O1上,且是⊙O1与⊙O相交所得劣弧的中点,过C作⊙O1的切线交⊙O于E、F,求证:O1E•O1F为定值;
(2)如果按前面的条件不变,而是过劣弧ACB上任一点G作⊙O1的切线与⊙O相交(A、B、C三点除外),(1)中的结论仍成立吗?请画出图形,并证明你的结论.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:如图(1)过O1作⊙O直径O1D交⊙O1于C′,连接DE、O1A、O1B、OA、OB,
∵OA=OB,O1A=O1B,OO1为公共边,
∴△AOO1≌△BOO1,
∴∠AO1C′=∠BO1C′,
∴弧AC′=弧BC′,
∴C′是弧AB中点,
又∵C是AB中点,
∴C与C′重合,
∵EF是⊙O1的切线,
∴∠O1ED=∠O1CE=90°,
∴△O1CE∽△O1ED,
∴Rt△O1CE∽Rt△O1ED,
∴
=
,即O1E2=O1C•O1D=2Rr(5分)
由垂径定理知O1E=O1F
∴O1E•O1F=2Rr,即O1E•O1F为定值.(6分)
(2)(1)中的结论仍成立.(7分)
证明:如图(2),作⊙O的直径O1D,连接DE、O1G,(8分)
则∠D=∠F,EF是⊙O1的切线,
∴∠O1ED=∠O1GF=90°,
∴Rt△O1DE∽Rt△O1FG,( 9分)
∴
=
,
∴O1E•O1F=O1D•O1G=2Rr,
即O1E•O1F为定值.(10分)
(1)证明:如图(1)过O1作⊙O直径O1D交⊙O1于C′,连接DE、O1A、O1B、OA、OB,
∵OA=OB,O1A=O1B,OO1为公共边,
∴△AOO1≌△BOO1,
∴∠AO1C′=∠BO1C′,
∴弧AC′=弧BC′,
∴C′是弧AB中点,
又∵C是AB中点,
∴C与C′重合,
∵EF是⊙O1的切线,
∴∠O1ED=∠O1CE=90°,
∴△O1CE∽△O1ED,
∴Rt△O1CE∽Rt△O1ED,
∴
O1D |
O1C |
O1D |
O1E |
由垂径定理知O1E=O1F
∴O1E•O1F=2Rr,即O1E•O1F为定值.(6分)
(2)(1)中的结论仍成立.(7分)
证明:如图(2),作⊙O的直径O1D,连接DE、O1G,(8分)
则∠D=∠F,EF是⊙O1的切线,
∴∠O1ED=∠O1GF=90°,
∴Rt△O1DE∽Rt△O1FG,( 9分)
∴
O1F |
O1D |
O1G |
O1E |
∴O1E•O1F=O1D•O1G=2Rr,
即O1E•O1F为定值.(10分)
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