边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形．取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形．取这个正六边形不相邻的三边中点顺次连接，又得到一个等边三角形

Question

边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形．取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形．取这个正六边形不相邻的三边中点顺次连接，又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形．取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图）…，按此方式依次操作．则第6个正六边形的边长是______．

Answer 1

如图，延长AB与第1个等边三角形的边相交于点D，
∵B为中点，
∴BD=(1)/(2)×(1)/(3)a=(a)/(6)，
∴BC=a-(a)/(6)-(a)/(3)=(a)/(2)，
∴第2个等边三角形的边长是第1个等边三角形的边长的(1)/(2)，
∵正六边形的边长是相应等边三角形边长的(1)/(3)，
∴下一个正六边形的边长是前一个正六边形的边长的(1)/(2)，
根据题意，第一个正六边形的边长是(1)/(3)a，
所以，第6个正六边形的边长：(1)/(3)a×（(1)/(2)）⁵=(1)/(96)a．
故答案为：(1)/(96)a．