以△ABC三边为边长向外作□ABDE,□ACFG,□BCHI,再以DB,BI为邻边作平行四边形DPIB,以CF,CH为邻边作平行四边形CHQF,求证△PAQ为等腰直角三角形□是正方形

Question

以△ABC三边为边长向外作□ABDE,□ACFG,□BCHI,再以DB,BI为邻边作平行四边形DPIB,以CF,CH为邻边作平行四边形CHQF,求证△PAQ为等腰直角三角形
□是正方形

Answer 1

连接QC,BP
因为角QFC＋角FCH＝180°,角ACB＋角FCH＝180°,所以角QFC＝角ACB,又因为AC＝FC,BC＝CH,所以△ABC与△CQF为全等三角形.
因为角BDP＋角DBP＝180°,角ABC＋角DBP＝180°,所以角ABC＝角BDP,又因为AB＝BD,BC＝DP,所以△ABC与△BDP为全等三角形
所以得△CQF与△BDP为全等三角形,得BP＝FC＝AC,CQ＝BD＝AB,角FCQ＝角PBD,又因为角ABP－90°＝角PBD,角QCA－90°＝角FCQ,进一步得,角ABP＝角QCA,因为CQ＝AB,BP＝AC,所以△ACQ与△PBA为全等三角形.所以得AQ＝AP.
因为△ABC与△BDP、△CQF为全等三角形,所以角FCQ＝角CAB＝角DBP.又因为角ABP＝90°＋角DBP,即角ABP＝90°＋角CAB.又因为△ACQ与△PBA为全等三角形,所以角ABP＝180°－（角PAB＋角QAC）.所以进一步得,90°＋角CAB＝180°－（角PAB＋角QAC）.即角PAB＋角QAC＋角CAB＝90°＝角QAP,根据前面得知AQ＝AP,所以△PAQ为等腰直角三角形.