以△ABC的三边为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF．（1）请猜想四边形ADEF是什么特殊四边形？并说明理由；（2）当△ABC满足条件时，四边形ADEF为矩形；（3）

Question

以△ABC的三边为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF．
（1）请猜想四边形ADEF是什么特殊四边形？并说明理由；
（2）当△ABC满足条件______时，四边形ADEF为矩形；
（3）当△ABC满足条件______时，四边形ADEF不存在．

Answer 1

（1）四边形ADEF是平行四边形；
证明∵△ABD，△BCE都是等边三角形，
∴∠DBE=∠ABC=60°-∠ABE，AB=BD，BC=BE．
在△ABC和△DBE中，

AB＝BD

∠ABC＝∠DBE

BC＝BE

，
∴△ABC≌△DBE（SAS）．
∴DE=AC．
又∵AC=AF，
∴DE=AF．
同理可得EF=AD．
∴四边形ADEF是平行四边形．

（2）∵四边形ADEF是平行四边形，
∴当∠DAF=90°时，四边形ADEF是矩形，
∴∠FAD=90°．
∴∠BAC=360°-∠DAF-∠DAB-∠FAC=360°-90°-60°-60°=150°．
则当∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形；
故答案为：∠BAC=150°；

（3）当∠BAC=60°时，∠DAF=180°，
此时D、A、F三点在同一条直线上，以A，D，E，F为顶点的四边形就不存在．
故答案为：∠BAC=60°．