如图所示，已知边长为3的等边△ABC，点F在边BC上，CF=1，点E是射线BA上一动点，以线段EF为边向右侧作等边△EFG，直线EG，FG交直线AC于点M，N，（1）写出图中与△BEF相似的三角形；（2）证明

Question

如图所示，已知边长为3的等边△ABC，点F在边BC上，CF=1，点E是射线BA上一动点，以线段EF为边向右侧作等边△EFG，直线EG，FG交直线AC于点M，N，
（1）写出图中与△BEF相似的三角形；
（2）证明其中一对三角形相似；
（3）设BE=x，MN=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（4）若AE=1，试求△GMN的面积．

Answer 1

（1）△BEF∽△AME∽△CFN∽△GMN；（3分）

证明：（2）在△BEF与△AME中，
∵∠B=∠A=60°，
∴∠AEM+∠AME=120°，（1分）
∵∠GEF=60°，
∴∠AEM+∠BEF=120°，
∴∠BEF=∠AME，（1分）
∴△BEF∽△AME；（1分）


（3）（i）当点E在线段AB上，点M、N在线段AC上时，如图，
∵△BEF∽△AME，
∴BE：AM=BF：AE，
即：x：AM=2：（3-x），
∴AM=(−x2+3x)/(2)，
同理可证△BEF∽△CFN；
∴BE：CF=BF：CN，
即：x：1=2：CN，
∴CN=(2)/(x)，
∵AC=AM+MN+CN，
∴3=(−x2+3x)/(2)+y+(2)/(x)，
∴y=(x3−3x2+6x−4)/(2x)（1≤x≤3）；
（ii）当点E在线段AB上，点G在△ABC内时，如备用图一，
同上可得：AM=(−x2+3x)/(2)，CN=(2)/(x)，
∵AC=AM+CN-MN，
∴3=(−x2+3x)/(2)+(2)/(x)-y，
∴y=-(x3−3x2+6x−4)/(2x)（0＜x≤1）；
（iii）当点E在线段BA的延长线上时，如备用图二，
AM=(x2−3x)/(2)，CN=(2)/(x)，
∵AC=MN+CN-AM，
∴3=y+(2)/(x)-(x2−3x)/(2)，
∴y=(x3−3x2+6x−4)/(2x)（x＞3）；
综上所述：y=-(x3−3x2+6x−4)/(2x)（0＜x≤1），
或∴y=(x3−3x2+6x−4)/(2x)（x≥1）；

（4）（i）当AE=1时，△GMN是边长为1等边三角形，
∴S_△GMN=(1)/(2)×1×(√(3))/(2)=(√(3))/(4)；（1分）
（ii）当AE=1时，△GMN是有一个角为30°的Rt△，
∵x=4，
∴y=(43−3 ×42+6×4−4)/(2×4)=(9)/(2)，NG=FG-FN=4×(√(3))/(2)-1×(√(3))/(2)=(3√(3))/(2)，
∴S_△GMN=(1)/(2)×(3√(3))/(2)×(9)/(2)=(27√(3))/(8)．