如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AD=1，CD=2，A1D⊥平面ABCD，AA1与底面ABCD所成角为θ（0<θ<π2），∠ADC=2θ．（1）求证：平面六面体ABCD-A1B1C1D1的体积V=4sin2θ，并求V的取值范围；（2）若θ=4

Question

如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=1，CD=2，A₁D⊥平面ABCD，AA₁与底面ABCD所成角为θ（0<θ<(π)/(2)），∠ADC=2θ．

（1）求证：平面六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积V=4sin²θ，并求V的取值范围；
（2）若θ=45°，求异面直线A₁C与BB₁所成角的大小．

Answer 1

证明：（1）∵A₁D⊥平面ABCD，
∴∠A₁AD为直线AA₁与底面ABCD所成的角，即∠A₁AD=θ，
∵AD=1，A₁D⊥AD，∴A₁D=tanθ．
∵AD=1，CD=2，∠ADC=2θ，
∴S_{四边形ABCD}=2S_△ADC=2×(1)/(2)×1×2×sin2θ=4sinθcosθ．
∴平面六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积V=S_{四边形ABCD}•A₁D=4sinθcosθ•tanθ=4sin²θ．
∵0<θ<(π)/(2)，∴0<sinθ<1，
∴0<V<4．
（2）∵AA₁∥BB₁，∴∠AA₁C为异面直线A₁C与BB₁所成的角．
连结AC．
∵∠A₁AD=45°，AD=1，A₁D⊥AD，∴A₁A=√(2)，A₁D=1．
∵AD=1，CD=2，∠ADC=2θ=90°，∴AC=√(5)．
∵A₁D⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴A₁D⊥CD．
∴A₁C=√(A1D2+CD2)=√(5)．
在△AA₁C中，由余弦定理得cos∠AA₁C=(2+5-5)/(2×√(2)×√(5))=(√(10))/(10)．
∴∠AA₁C=arccos(√(10))/(10)．
异面直线A₁C与BB₁所成角为arccos

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