在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,a^2-c^2=b^2-8bc/5,a=3,△ABC面积为6,D为△ABC内任一点,D到三边距离之和为d求d的取值范围

Question

在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,a^2-c^2=b^2-8bc/5,a=3,△
ABC面积为6,D为△ABC内任一点,D到三边距离之和为d 求d的取值范围

Answer 1

（1）由a2-c2=b2-8bc5
变形得b2+c2-a22bc=45,利用余弦定理得cosA=45
因为A∈（0,π）,所以sinA=1-cos2A=1-(45)2=35；
（2）∵S△ABC=12bcsinA=12bc•35=6,∴bc=20
由b2+c2-a22bc=45及bc=20与a=3
解得b=4,c=5或b=5,c=4；
（3）设D到三边的距离分别为x、y、z,
则S△ABC=12(3x+4y+5z)=6
d=x+y+z=125+15(2x+y)又x、y满足3x+4y≤12x≥0y≥0
由d=125+15（2x+y）得到y=-2x+5d-12,画出不等式表示的平面区域得：y=-2x+5d-12是斜率为-2的一组平行线,
当该直线过不等式表示的平面区域中的O点即原点时与y轴的截距最小,把（0,0）代入到方程中求得d=125；
当该直线过A点时,与y轴的截距最大,把A（4．,0）代入即可求得d=4,
所以满足题意d的范围为：125＜d＜4