如图，平行六面体体ABCD-A1B1C1D1中，所有棱长均为1，且∠BAD=∠A1AB=∠A1AC=60°．（Ⅰ）求证：平面A1BD⊥平面A1ACC1；（Ⅱ）求四棱锥A1-BB1D1D的体积．

Question

如图，平行六面体体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，所有棱长均为1，且∠BAD=∠A₁AB=∠A₁AC=60°．

（Ⅰ）求证：平面A₁BD⊥平面A₁ACC₁；
（Ⅱ）求四棱锥A₁-BB₁D₁D的体积．

Answer 1

（Ⅰ）证明：连接AC、BD、A₁B、A₁D，AC与BD相交于一点O，连接A₁O，
因为平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，所有棱长均为1，
所以AC⊥BD，且O为BD中点，∠BAD=∠A₁AB=∠A₁AD=60°，
所以A₁B=A₁D=BD，所A₁O⊥BD，A₁O∩A₁C=O，
所以BD⊥平面A₁ACC₁，BD⊂平面A₁BD，
所以平面A₁BD⊥平面A₁ACC₁；
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知A₁A⊥BD，又A₁A∥B₁B，所以B₁B⊥BD，
四棱锥A₁-BB₁D₁D为正四棱锥，V=(1)/(3)SBB1D1D•h，h为A₁到平面BB₁D₁D的距离，h=√(((√(3))/(2))2-((1)/(2))2)=(√(2))/(2)，SBB1D1D=1×1=1，
∴V=(√(2))/(6)．