如图,三棱锥P－ABC中,平面PBC⊥平面ABC,△PBC是边长为a的正三角形,∠ACB＝90°,∠BAC＝30°,M是BC的中点.⑴求证：PB⊥AC；⑵求点M到平面PCA的距离；⑶求二面角C－PA－M的正弦值

Question

如图,三棱锥P－ABC中,平面PBC⊥平面ABC,△PBC是边长为a的正三角形,∠ACB＝90°,∠BAC＝30°,M是BC的中点.
⑴求证：PB⊥AC；
⑵求点M到平面PCA的距离；
⑶求二面角C－PA－M的正弦值

Answer 1

前两问请看下面的图,第三问如下：
（3）
∵平面PBC⊥平面ABC,交线为BC,M是正三角形PBC的边BC上的中点. 
有PM⊥BC,∴PM⊥平面ABC, 
∵AC 平面ABC,∴AC⊥PM,又∠ACB=90°, 
∴AC⊥平面PBC,从而平面PBC⊥平面PAC,作MH⊥PC,H为垂足,则MH⊥平面PAC,作MD⊥PA,D为垂足,连结DH则由三垂线定理的逆定理知DH⊥PA,∠MDH是二面角C—PA—M的平面角. 
在正△PBC中,边长为a,则PM=√3*a/2 ,MH= √3*a/4 . 
在Rt△ACB中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=a, 
则MA=√（AC^2+MC^2）=√(a*cot30)^2+a^2/4=√13*a/2 
PA=√（PM^2+AM^2)=2a ,∴DM=PM*AM/PA=√39除以8 . 
在Rt△MHD中,sin∠MDH=2√13除以13 .