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设△ABC是圆O的内接正三角形,P是圆O上任一点,则PA^2+PB^2+PC^2是否为定值?
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设△ABC是圆O的内接正三角形,P是圆O上任一点,则PA^2+PB^2+PC^2是否为定值?
▼优质解答
答案和解析
∵根据三角形内接园定理
∴∠1=∠2 ∠3=∠4
∵BC²=AB²+AC²-2*AB*AC*Cos∠1=PB²+PC²-2*PB*PC*Cos∠2.①
∵AB²=AC²+BC²-2*AC*BC*Cos∠4=PB²+PA²-2*PB*PA*Cos∠3.②
∵AC²=AB²+BC²-2*AB*BC*Cos(180°-∠1-∠4)=PA²+PC²-2PA*PC*Cos(∠2+∠3)③
BC²＋AB²+AC²=2(AB*AC*Cos∠1+AC*BC*Cos∠4+AB*BC*Cos(∠2+∠3)
带入①②③得
BC²＋AB²+AC²=PA²+PB²+PC²
∴∠1=∠2 ∠3=∠4
∵BC²=AB²+AC²-2*AB*AC*Cos∠1=PB²+PC²-2*PB*PC*Cos∠2.①
∵AB²=AC²+BC²-2*AC*BC*Cos∠4=PB²+PA²-2*PB*PA*Cos∠3.②
∵AC²=AB²+BC²-2*AB*BC*Cos(180°-∠1-∠4)=PA²+PC²-2PA*PC*Cos(∠2+∠3)③
BC²＋AB²+AC²=2(AB*AC*Cos∠1+AC*BC*Cos∠4+AB*BC*Cos(∠2+∠3)
带入①②③得
BC²＋AB²+AC²=PA²+PB²+PC²
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