已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PC⊥平面ABCD,AB=1,PC=2,E为侧棱PC上的点(1）若E是侧棱PC的中点,求证:PA//平面BDE(2)若E是侧棱PC上的动点,不论点E在何位置,是否都有BD⊥AE?证明你的结论

Question

已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PC⊥平面ABCD,AB=1,PC=2,E为侧棱PC上的点
(1）若E是侧棱PC的中点,求证:PA//平面BDE
(2)若E是侧棱PC上的动点,不论点E在何位置,是否都有BD⊥AE?证明你的结论

Answer 1

（1）连结AC、BD交于O,连结EO
则EO为△PAC的中位线,所以EO∥PA
又EO在平面BDE内,所以PA//平面BDE
（2）是
∵底面ABCD为正方形
∴BD⊥AC
又∵PC⊥平面ABCD
∴BD⊥PC
AC、PC交于C
∴BD⊥面PAC
AE在面PAC内
所以不论点E在何位置,是否都有BD⊥AE