如图,在直角三角形ABC中有一个内接正方形DEFG,它的一条边DE在直角三角形的斜边BC上（1）设AB=a,∠ABC=Q,用a和Q分别表示三角形ABC的面积和正方形的面积（2）当Q变化时,求P/Q的最小值

Question

如图,在直角三角形ABC中有一个内接正方形DEFG,它的一条边DE在直角三角形的斜边BC上
（1）设AB=a,∠ABC=Q,用a和Q分别表示三角形ABC的面积和正方形的面积
（2）当Q变化时,求P/Q的最小值

Answer 1

（1）设AB=a,∠ABC=θ,用P和Q分别表示三角形ABC的面积和正方形的面积
（2）当θ变化时,求P/Q的最小值
（1）AC/AB=tanθ,AC=atanθ,
S△ABC=a^2tanθ/2,
作AN⊥BC,交GF于M,
AN=AB*sinθ=a sinθ,
AM/AN=GF/BC,
AB/BC=cosθ,
BC=a/cosθ,
设GF=x,MN=GF=x,
(a sinθ-x)/ (a sinθ)=x/(a/cos θ),
X= a sinθ/(1+ sinθcos θ),
DE= a sinθ/(1+ sinθcos θ),
S正方形DEFG=x^2=a^2[ sinθ/(1+ sinθcos θ)]^2,
(2).P/Q=( a^2tanθ/2)/ {a^2[ sinθ/(1+ sinθcos θ)]^2}
=(1+ sinθcos θ)^2/sin2θ,
=(1+ sin2θ/2)^2/ sin2θ
=1/ sin2θ+ 1+ sin2θ/4
令sin2θ=t,1/ sin2θ+ sin2θ/4=1/t+t/4
1/t+t/4>=2√[（1/t）(t/4)]
1/t+t/4>=1,最小值为1,
1/ sin2θ+ 1+ sin2θ/4>=2,
故P/Q最小值为2.