已知：如图，BP是正方形ABCD的一条外角平分线，点E在AB边上，EP⊥ED，EP交BC边于点F．（1）若AE：EB=1：2，求cos∠BEP的值；（2）请你在图上作直线CM⊥DE，CM与直线AD交于点M，猜想：四边形MEPC

Question

已知：如图，BP是正方形ABCD的一条外角平分线，点E在AB边上，EP⊥ED，EP交BC边于点F．

（1）若AE：EB=1：2，求cos∠BEP的值；
（2）请你在图上作直线CM⊥DE，CM与直线AD交于点M，猜想：四边形MEPC的形状有什么特点？证明你的结论．

Answer 1

（1）∵EP⊥ED，∴∠DEP=90°．
∴∠BEF=180°-∠DEP-∠AED=90°-∠AED．
又∵∠ADE=90°-∠AED，
∴∠BEP=∠BEF=∠ADE．
∵AE：EB=1：2，
∴AE：AB=AE：AD=1：3．
不妨设AE=1，则AD=3，DE=√(10)，cos∠ADE=(3)/(√(10))=(3√(10))/(10)．
∴cos∠BEP=(3√(10))/(10)．
（2）作图符合题意，
猜想：四边形MEPC是平行四边形．
证明：∵CM⊥DE，EP⊥ED，∴CM∥EP．
∵∠DCM+∠NDC=90°，∠MDN+∠CDN=90°，
∴∠ADE=∠DCM，
在△ADE和△DCM中，
∵

∠DCM=∠ADE

CD=AD

∠CDM=∠A

∴△ADE≌△DCM（ASA），∴CM=DE．
连接BD，作EN∥AD交BD于N，
则△BEN∽△BAD．
又∵四边形ABCD是正方形，BP是外角平分线．
∴EN=EB，∠END=∠EBP=135°．
∵EN∥AD，∴∠NED=∠ADE=∠BEP．
在△NED和△BEP中，
∵

∠END=∠EBP

NE=BE

∠NED=∠BEP

，
∴△NED≌△BEP（ASA）．
∴DE=PE=CM．
∴四边形MEPC是平行四边形．
（注：此题证明方法很多，不逐一列举）