如图，BE、BD是△ABC中∠ABC的内、外角平分线，AD⊥BD于D，AE⊥BE于E，交BC的延长线于F．（1）判断四边形ADBE的形状，并说明理由．（2）DE与BF相等吗？为什么？（3）当△ABC满足什么条件时，四

Question

如图，BE、BD是△ABC中∠ABC的内、外角平分线，AD⊥BD于D，AE⊥BE于E，交BC的延长线于F．
（1）判断四边形ADBE的形状，并说明理由．
（2）DE与BF相等吗？为什么？
（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADBE是一个正方形？并给出证明．

Answer 1

（1）四边形ADBE是矩形；
理由：∵BE、BD是△ABC中∠ABC的内、外角平分线，
∴∠DBE=(1)/(2)×180°=90°，
∵AD⊥BD于D，AE⊥BE于E，
∴∠ADB=∠AEB=90°，
则∠DBE=∠ADB=∠AEB=90°，
∴四边形ADBE是矩形；

（2）DE=BF，
理由：在△ABE和△FBE中，

∠ABE＝∠FBE

BE＝BE

∠BEA＝∠BEF

，
∴△ABE≌△FBE（ASA），
∴AB=BF，
∵四边形ADBE是矩形，
∴DE=AB，
∴DE=BF；

（3）△ABC为等腰直角三角形时，四边形ADBE是一个正方形，
理由：∵四边形ADBE是矩形，
∴当AE=BE时，四边形ADBE是一个正方形，
∴△ABC为等腰直角三角形时，AB=BC，∠ABC=90°，
则BE=AE=EC，
∴矩形ADBE是正方形．