如图,三角形ABC中,点O是AC边上的一个动点,过点O作直线MN平行BC,设MN交角BCA的平分线于E,交角BCA的外角平分线于点F.1、求证：EO=FO2、当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形?并证明你的结论.

Question

如图,三角形ABC中,点O是AC边上的一个动点,过点O作直线MN平行BC,设MN交角BCA的平分线于E,交角BCA的外角平分线于点F.
1、求证：EO=FO
2、当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形?并证明你的结论.

Answer 1

因为 mn//bc
所以 角bce=角fec
又因为 角 bce=角eco(ce为角bca的角平分线）
所以 在三角形oec中角oec=角oce 则oce为等腰三角形
即oe=oc
同理可证of=oc
则有oe=oc=of
即oe=of
当o点在ac中点时,四边形aecf为矩形
由1得oe=of
且oc=oa(o为ac中点）
所以 四边形aecf为平行四边形（对角线相互平分的四边形为平行四边形）
又因为 角bca+角ack=180度（k为bc延长线上一点）
角bce=角eca 且 角bce+角eca=角bca
角acf=角fck 且 角acf+角fck=角ack
所以 角ecf=角eca+角acf=1/2bck=90度
所以 四边形acef为矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）