如图，在直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2=4与x轴负半轴交于点A，过点A的直线AM，AN分别与圆O交于M，N两点．（1）若kAM=2，kAN=-12，求△AMN的面积；（2）过点P（33，-5）作圆O的两条切线，切点分别

Question

如图，在直角坐标系xOy中，圆O：x²+y²=4与x轴负半轴交于点A，过点A的直线AM，AN分别与圆O交于M，N两点．
（1）若k_AM=2，k_AN=-(1)/(2)，求△AMN的面积；
（2）过点P（3√(3)，-5）作圆O的两条切线，切点分别记为E，F，求

PE

•

PF

；
（3）若k_AM•k_AN=-2，求证：直线MN过定点．

Answer 1

（1）由题知，得直线AM的方程为y=2x+4，
直线AN的方程为y=-(1)/(2)x-1，…（2分）
所以，圆心到直线AM的距离d=(|4|)/(√(5))，所以AM=2√(4−(16)/(5))＝(4√(5))/(5)，
由中位线定理知，AN=(8√(5))/(5)，…（4分）
由题知k_AM•k_AN=-1，所以AN⊥AM，S=(1)/(2)×(4√(5))/(5)×(8√(5))/(5)＝(16)/(5)．…（6分）
（2）|

作业帮用户 2016-11-17

问题解析

（1）直线AM的方程为y=2x+4，直线AN的方程为y=-(1)/(2)x-1，由中位线定理知，AN=(8√(5))/(5)，由此能求出△AMN的面积．
（2）由已知条件推导出cos∠OPE=(4√(3))/(2√(13))=(2√(3))/(√(13))，cos∠FPE=2cos²∠OPE-1=(11)/(13)，由此能求出

PE

•

PF

．
（3）设直线AM的方程y=k（x+2），则直线AN的方程为y=-(2)/(k)（x+2），联立方程

y＝k(x+2)

x2+y2＝4

，得M（(2−2k2)/(1+k2)，(4k)/(1+k2)），同理N（(2k2−8)/(4+k2)，(−8k)/(4+k2)），由此能证明直线MN过定点（-(2)/(3)，0）．

名师点评

本题考点：

直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评：

本题考查三角形面积的求法，考查向量的数量积的求法，考查直线过定点的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．

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