（2014•昆都仑区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以边AC为直径作⊙O，与斜边AB交于点M，点N是边BC的中点，连接MN．（1）如图①，求证：MN是⊙O的切线；（2）如图②，作直径MD，连接DN，

Question

（2014•昆都仑区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以边AC为直径作⊙O，与斜边AB交于点M，点N是边BC的中点，连接MN．  
（1）如图①，求证：MN是⊙O的切线；
（2）如图②，作直径MD，连接DN，若MN=(3)/(2)，sinA=(3)/(5)，求DN的长．

Answer 1

（1）证明：连结CM、OM，如图①，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠AMC=90°，
∵点N是边BC的中点，
∴NM=NC，
∴∠1=∠2，
∵OM=OC，
∴∠3=∠4，
∴∠1+∠4=∠2+∠3，即∠OMN=∠OCN，
而∠ACB=90°，
∴∠OMN=90°，
∴OM⊥MN，
∴MN是⊙O的切线；
（2）连结MC，如图②，由①得MN为Rt△BCM的斜边BC上的中线，
∴BC=2MN=2×(3)/(2)=3，
在Rt△ABC中，sinA=(BC)/(AB)=(3)/(5)，
∴AB=5，
∴AC=√(AB2−BC2)=4，
∴MD=4，
在Rt△DMN中，DN=√(DM2+MN2)=√(42+((3)/(2))2)=(√(73))/(2)．