在三角形ABC中,角B=22.5度,AB的垂直平分线交AB于点Q,交BC于点P,PE垂直AC,垂足为E,AD垂直BC,垂足...在三角形ABC中,角B=22.5度,AB的垂直平分线交AB于点Q,交BC于点P,PE垂直AC,垂足为E,AD垂直BC,垂足为D,AD交PE

Question

在三角形ABC中,角B=22.5度,AB的垂直平分线交AB于点Q,交BC于点P,PE垂直AC,垂足为E,AD垂直BC,垂足...
在三角形ABC中,角B=22.5度,AB的垂直平分线交AB于点Q,交BC于点P,PE垂直AC,垂足为E,AD垂直BC,垂足为D,AD交PE于F点,求证DF=DC

Answer 1

证明：连接AQ因为 QP是AB的垂直平分线
所以 QA=QB（垂直平分线性质定理)
即 △QAB为等边三角形
所以 ∠BAQ=∠B=22.5
所以 ∠AQD =∠B+∠BAQ=45(三角形外角定理)
又因为 AD⊥BC
所以 △ADQ为等腰直角三角形
所以 DQ=DA (1)
因为 在△DQF和△EAF中,∠QFD=∠EFA(对角)
∠QDF=∠AEF=90
所以 △DQF和△EAF是相似直角三角形(角角)
所以 ∠DQF=∠EAF,即∠DQF=∠DAC (2)
由(1)(2)可得△DQF与△DAC是全等直角三角形(边角边),
所以 DF=DC