如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH，点H的坐标为（-8，0），点N的坐标为（-6，-4）．（1）画出直角梯形OMNH绕点O旋转180°的图形OABC，并写出顶点A，B，C的坐标（点M的对应点为A，点N的

Question

如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH，点H的坐标为（-8，0），点N的坐标为（-6，-4）．
（1）画出直角梯形OMNH绕点O旋转180°的图形OABC，并写出顶点A，B，C的坐标（点M的对应点为A，点N的对应点为B，点H的对应点为C）；
（2）求出过A，B，C三点的抛物线的表达式；
（3）试设计一种平移使（2）中的抛物线经过四边形ABCO的对角线交点；
（4）截取CE=OF=AG=m，且E，F，G分别在线段CO，OA，AB上，四边形BEFG是否存在邻边相等的情况？若存在，请直接写出此时m的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）利用中心对称性质，画出梯形OABC．
∵A，B，C三点与M，N，H分别关于点O中心对称，
∴A（0，4），B（6，4），C（8，0）；

（2）设过A，B，C三点的抛物线关系式为y=ax²+bx+c，
∵抛物线过点A（0，4），
∴c=4．则抛物线关系式为y=ax²+bx+4．
将B（6，4），C（8，0）两点坐标代入关系式，得

36a+6b+4＝4

64a+8b+4＝0

解得

a＝−(1)/(4)

b＝(3)/(2)

所求抛物线关系式为：y＝−(1)/(4)x2+(3)/(2)x+4；（2分）

（3）由y＝−(1)/(4)x2+(3)/(2)x+4得，它的顶点是（3，(25)/(4)）
又直线OB的解析式是y=(2)/(3)x，直线AC的解析式是y=−(1)/(2)x+4，
两直线的交点是（(24)/(7)，(16)/(7)）；
故(24)/(7)-3=(3)/(7)，(16)/(7)-(25)/(4)=-(111)/(28)；
所以，只要把抛物线y＝−(1)/(4)x2+(3)/(2)x+4向右平移(3)/(7)，向下平移(111)/(28)个单位就能使顶点过梯形ABCO的对角线交点；

（4）OA=4，OC=8，
∴AF=4-m，OE=8-m．
过B作BM⊥x轴于M，则：BM=OA=4，MC=OC-AB=2；
∴EM=m-2或2-m，
即ME²=（m-2）²；
在Rt△BEM中，BM=4，ME²=（m-2）²；
根据勾股定理得：BE²=BM²+ME²=m²-4m+20；
同理：EF²=2m²-16m+64，GF²=2m²-8m+16，
而BG=6-m，
即BG²=m²-12m+36；则：
①GB=GF，则GB²=GF²，得：
m²-12m+36=2m²-8m+16，即m²+4m-20=0，
解得m=-2±2

6

（负值舍去）；
故当m＝−2+2

6

时，GB=GF，
②BE=BG，则BE²=BG²，得：
m²-4m+20=m²-12m+36，
解得m=2；
故当m=2时，BE=BG．
③BE=EF，则BE²=EF²，
得：m²-4m+20=2m²-16m+64，
即m²-12m+44=0，
此方程无解，
故此种情况不成立．
④GF=EF，则GF²=EF²，
得：2m²-8m+16=2m²-16m+64，
解得m=6，
此时BG=6-m=0，构不成四边形BEFG，故此种情况不成立．
综上所述，当m＝−2+2

6

时，GB=GF，当m=2时，BE=BG．