如图，点M是Rt△ABC的斜边AB的中点，连接CM，作线段CM的垂直平分线，分别交边CB和CA的延长线于点D、E，若∠C=90°，AB=20，tanB=25，则DE=．

Question

如图，点M是Rt△ABC的斜边AB的中点，连接CM，作线段CM的垂直平分线，分别交边CB和CA的延长线于点D、E，若∠C=90°，AB=20，tanB= (2)/(5)，则DE=___．

Answer 1

∵∠C=90°，tanB=(2)/(5)，
设AC=2k，BC=5k，
∴AB=√(AC2+BC2)=√(29)k=20，
∴k=(20)/(√(29))，
∴BC=(100)/(√(29))，
连接DM，
∵∠C=90°，点M是Rt△ABC的斜边AB的中点，
∴AM=CM=BM(1)/(2)AB=10，
∴∠MCB=∠B，
∵DE是线段CM的垂直平分线，
∴CD=DM，
∴∠DCM=∠DMC，
∴△CDM∽△CMB，
∴(CM)/(BC)=(CD)/(CM)，
∴CD=√(29)，
∵DE垂直平分CM，
∴∠E+∠ECN=∠ECN+∠NCD=90°，
∴∠E=∠NCD，
∴△CDE∽△CDN，
∴(CD)/(DE)=(DN)/(CD)，
∵DN=√(CD2-CN2)=2，
∴DE=(CD2)/(DN)=(29)/(2)．
故答案为：(29)/(2)．