考察等式：C0mCrn-m+C1mCr-1n-m+…+CrmC0n-m=Crn（*），其中n、m、r∈N*，r≤m＜n且r≤n-m．某同学用概率论方法证明等式（*）如下：设一批

Question

考察等式：

C

0m

C

rn-m

+

C

1m

C

r-1n-m

+…+

C

rm

C

0n-m

=

C

rn

（*），其中n、m、r∈N ^* ，r≤m＜n且r≤n-m．某同学用概率论方法证明等式（*）如下：
设一批产品共有n件，其中m件是次品，其余为正品．现从中随机取出r件产品，
记事件A _k ={取到的r件产品中恰有k件次品}，则 P( A k )=(CkmCr-kn-m)/(Crn) ，k=0，1，2，…，r．
显然A ₀ ，A ₁ ，…，A _r 为互斥事件，且A ₀ ∪A ₁ ∪…∪A _r =Ω（必然事件），
因此1=P（Ω）=P（A ₀ ）+P（A ₁ ）+…P（A _r ）= (C0mCrn-m+C1mCr-1n-m+…+CrmC0n-m)/(Crn) ，
所以

C

0m

C

rn-m

+

C

1m

C

r-1n-m

+…+

C

rm

C

0n-m

=

C

rn

，即等式（*）成立．
对此，有的同学认为上述证明是正确的，体现了偶然性与必然性的统一；但有的同学对上述证明方法的科学性与严谨性提出质疑．现有以下四个判断：
①等式（*）成立  ②等式（*）不成立  ③证明正确  ④证明不正确
试写出所有正确判断的序号______．

Answer 1

设一批产品共有n件，其中m件是次品，其余n-m件为正品．
现从中随机取出r件产品，记事件A _k ={取到的产品中恰有k件次品}，则取到的产品中恰有k件次品共有

C

km

C

r-kn-m

种情况，又从中随机取出r件产品，共有

C

rn

种情况，k=0，1，…，r，故其概率为 P( A k )=(CkmCr-kn-m)/(Crn) ，k=0，1，…，r．
∵A ₀ ，A ₁ ，…，A _r 为互斥事件，且A ₀ ∪A ₁ ∪…∪A _r =Ω（必然事件），
因此1=P（Ω）=P（A ₀ ）+P（A ₁ ）+…P（A _r ）= (C0mCrn-m+C1mCr-1n-m+…+CrmC0n-m)/(Crn) ，
所以C _m ⁰ C _n-m ^r +C _m ¹ C _n-m ^r-1 +…+C _m ^r C _n-m ⁰ =C _n ^r ，即等式（*）成立．
从而可知正确的序号为：①③
故答案为：①③