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(2010•福建模拟)考察等式:C0mCrn−m+C1mCr−1n−m+…+CrmC0n−m=Crn(*),其中n、m、r∈N*,r≤m<n且r≤n-m.某同学用概率论方法证明等式(*)如下:设一批产品共有n件,其中m件是次品,其
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(2010•福建模拟)考察等式:
+
+…+
=
(*),其中n、m、r∈N*,r≤m<n且r≤n-m.某同学用概率论方法证明等式(*)如下:
设一批产品共有n件,其中m件是次品,其余为正品.现从中随机取出r件产品,
记事件Ak={取到的r件产品中恰有k件次品},则P(Ak)=
,k=0,1,2,…,r.
显然A0,A1,…,Ar为互斥事件,且A0∪A1∪…∪Ar=Ω(必然事件),
因此1=P(Ω)=P(A0)+P(A1)+…P(Ar)=
,
所以
+
+…+
=
,即等式(*)成立.
对此,有的同学认为上述证明是正确的,体现了偶然性与必然性的统一;但有的同学对上述证明方法的科学性与严谨性提出质疑.现有以下四个判断:
①等式(*)成立 ②等式(*)不成立 ③证明正确 ④证明不正确
试写出所有正确判断的序号______.
C | 0 m |
C | r n−m |
C | 1 m |
C | r−1 n−m |
C | r m |
C | 0 n−m |
C | r n |
设一批产品共有n件,其中m件是次品,其余为正品.现从中随机取出r件产品,
记事件Ak={取到的r件产品中恰有k件次品},则P(Ak)=
| ||||
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显然A0,A1,…,Ar为互斥事件,且A0∪A1∪…∪Ar=Ω(必然事件),
因此1=P(Ω)=P(A0)+P(A1)+…P(Ar)=
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所以
C | 0 m |
C | r n−m |
C | 1 m |
C | r−1 n−m |
C | r m |
C | 0 n−m |
C | r n |
对此,有的同学认为上述证明是正确的,体现了偶然性与必然性的统一;但有的同学对上述证明方法的科学性与严谨性提出质疑.现有以下四个判断:
①等式(*)成立 ②等式(*)不成立 ③证明正确 ④证明不正确
试写出所有正确判断的序号______.
▼优质解答
答案和解析
设一批产品共有n件,其中m件是次品,其余n-m件为正品.
现从中随机取出r件产品,记事件Ak={取到的产品中恰有k件次品},则取到的产品中恰有k件次品共有
种情况,又从中随机取出r件产品,共有
种情况,k=0,1,…,r,故其概率为P(Ak)=
,k=0,1,…,r.
∵A0,A1,…,Ar为互斥事件,且A0∪A1∪…∪Ar=Ω(必然事件),
因此1=P(Ω)=P(A0)+P(A1)+…P(Ar)=
,
所以Cm0Cn-mr+Cm1Cn-mr-1+…+CmrCn-m0=Cnr,即等式(*)成立.
从而可知正确的序号为:①③
故答案为:①③
现从中随机取出r件产品,记事件Ak={取到的产品中恰有k件次品},则取到的产品中恰有k件次品共有
C | k m |
C | r−k n−m |
C | r n |
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∵A0,A1,…,Ar为互斥事件,且A0∪A1∪…∪Ar=Ω(必然事件),
因此1=P(Ω)=P(A0)+P(A1)+…P(Ar)=
| ||||||||||||
|
所以Cm0Cn-mr+Cm1Cn-mr-1+…+CmrCn-m0=Cnr,即等式(*)成立.
从而可知正确的序号为:①③
故答案为:①③
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