（2010•福建模拟）考察等式：C0mCrn−m+C1mCr−1n−m+…+CrmC0n−m＝Crn（*），其中n、m、r∈N*，r≤m＜n且r≤n-m．某同学用概率论方法证明等式（*）如下：设一批产品共有n件，其中m件是次品，其

Question

（2010•福建模拟）考察等式：

C

0 m

C

r n−m

+

C

1 m

C

r−1 n−m

+…+

C

r m

C

0 n−m

＝

C

r n

（*），其中n、m、r∈N^*，r≤m＜n且r≤n-m．某同学用概率论方法证明等式（*）如下：
设一批产品共有n件，其中m件是次品，其余为正品．现从中随机取出r件产品，
记事件A_k={取到的r件产品中恰有k件次品}，则P(Ak)＝(CkmCr−kn−m)/(Crn)，k=0，1，2，…，r．
显然A₀，A₁，…，A_r为互斥事件，且A₀∪A₁∪…∪A_r=Ω（必然事件），
因此1=P（Ω）=P（A₀）+P（A₁）+…P（A_r）=(C0mCrn−m+C1mCr−1n−m+…+CrmC0n−m)/(Crn)，
所以

C

0 m

C

r n−m

+

C

1 m

C

r−1 n−m

+…+

C

r m

C

0 n−m

＝

C

r n

，即等式（*）成立．
对此，有的同学认为上述证明是正确的，体现了偶然性与必然性的统一；但有的同学对上述证明方法的科学性与严谨性提出质疑．现有以下四个判断：
①等式（*）成立  ②等式（*）不成立  ③证明正确  ④证明不正确
试写出所有正确判断的序号______．

Answer 1

设一批产品共有n件，其中m件是次品，其余n-m件为正品．
现从中随机取出r件产品，记事件A_k={取到的产品中恰有k件次品}，则取到的产品中恰有k件次品共有

C

k m

C

r−k n−m

种情况，又从中随机取出r件产品，共有

C

r n

种情况，k=0，1，…，r，故其概率为P(Ak)＝(CkmCr−kn−m)/(Crn)，k=0，1，…，r．
∵A₀，A₁，…，A_r为互斥事件，且A₀∪A₁∪…∪A_r=Ω（必然事件），
因此1=P（Ω）=P（A₀）+P（A₁）+…P（A_r）=(C0mCrn−m+C1mCr−1n−m+…+CrmC0n−m)/(Crn)，
所以C_m⁰C_n-m^r+C_m¹C_n-m^r-1+…+C_m^rC_n-m⁰=C_n^r，即等式（*）成立．
从而可知正确的序号为：①③
故答案为：①③