用数学归纳法做a^(2n-1)+b^(2n-1)能被(a+b)整除

Question

用数学归纳法做 a^(2n-1)+b^(2n-1) 能被 (a+b)整除

Answer 1

证明：

显然地,当n=1时,a^(2n-1)+b^(2n-1)=a+b 能被 (a+b)整除；当n=2时,a^(2n-1)+b^(2n-1)=a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)也能被 (a+b)整除；


假设当n=k>=2时,a^(2k-1)+b^(2k-1) 能被 (a+b)整除,a^(2k-3)+b^(2k-3) 能被 (a+b)整除；

当n=k+1时,a^(2n-1)+b^(2n-1) =a^(2k+1)+b^(2k+1)=[a^(2k-1)+b^(2k-1)](a^2+b^2)-(a^2*b^(2k-1)+b^2*a^(2k-1))= [a^(2k-1)+b^(2k-1)](a^2+b^2)-a^2*b^2*[a^(2k-3)+b^(2k-3)]；

由于减号前一部分含有因式a^(2k-1)+b^(2k-1),后一部分含有因式a^(2k-3)+b^(2k-3),因此n=k+1时a^(2n-1)+b^(2n-1) =a^(2k+1)+b^(2k+1)也能被 (a+b)整除.

由数学归纳法可知a^(2n-1)+b^(2n-1) 能被 (a+b)整除成立.