关于数学归纳法的一个问题命题An：“若a,b是任意两个使max(a,b)=n的任意两个正整数,则a=b.”证明：（1）设a,b是任意两个使max(a,b)=r+1的正整数.考虑两个整数α=a-1,β=b-1.则max(α,β)=r,又由于假设Ar

Question

关于数学归纳法的一个问题
命题An：“若a,b是任意两个使max(a,b)=n的任意两个正整数,则a=b.”
证明：（1）设a,b是任意两个使max(a,b)=r+1的正整数.考虑两个整数 α=a-1,β=b-1.则max(α,β)=r,又由于假设Ar成立,因此α=β,由此知a=b.因此Ar+1成立.
（2）A1显然成立.因为若max(a,b)=1,则由于a,b是正整数,所以都必须等于1.
因此按数学归纳法,An对任意的n成立.
现在如果a和b是两个不管什么样的正整数,用r表示max(a,b),由于已证明了对任意的n,An是成立的.特别是Ar是成立的,因此a=b.
很明显命题出错了。请找出以上证明的错误。
PS：网不给力。一直没能把问题说清楚。抱歉。

Answer 1

你既然都说了a,b是任意两个数,也就是可变的,在（1）中又令α=a-1,β=b-1,这是自相矛盾的事情,Ar+1里面的a,b是不受Ar里面的a,b所控制的,你这种证明因为你的"令",虽然前面一个命题是任意2个数a和b,但是后面一个就不是任意的了,相当于限制了条件,只说明了Ar里面的一种a=b的情况.
不知道你看明白没有,